El teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula
del binomio) con la cual se puede escribir directamente los términos del
desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio. Para formarnos una
idea de la estructura del desarrollo de
: Por multiplicación directa podemos obtener
De
acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que
siguen en su formación:
- Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.
- Para cada valor de n, el desarrollo de empieza con y termina con . En cada término los exponentes de a y b suman n.
- Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La baparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del término.
- El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar.
Cierta simetría constituye una característica del desarrollo del
binomio. Esta simetría se puede apreciar al disponer los coeficientes en el
siguiente orden que se conoce como Triángulo de Pascal, para
valores enteros no negativos de n en el desarrollo de
.
A estos
números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que cada renglón
se observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes del
primer y último término son iguales a 1.
Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentra
a su izquierda y derecha en el renglón superior. Así, para n=6, el
segundo coeficiente 6 es la suma de los elementos 1 y 5 que se encuentran a su
izquierda y derecha en el renglón superior; el tercer coeficiente 15 se obtiene
de manera similar como la suma de los elementos 5 y 10 del renglón superior, y
así sucesivamente.
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