AXIOMAS DE PEANO

Los Axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto de axiomas para los números naturales introducidos por Giuseppe Peano en el siglo XIX.

Los axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios para una variedad de investigaciones metamatemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud en la Teoría de números.

Los axiomas de Peano no se ocupan del significado de "número natural", sino que lo suponen y pretenden encontrar un sistema simple de axiomas que caractericen los números naturales y nos permitan deducir a partir de estos, todas las propiedades de los números naturales, utilizando las reglas de la lógica.

Los cinco axiomas de Peano

·         El 1 es un número natural.

·         Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.

·         El 1 no es el sucesor de ningún número natural.

·         Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

·         Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción, y captura la idea de Inducción matemática.

Hay un debate sobre si considerar al 0 como número natural o no. Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se lo necesita o no. Cuando se resuelve incluir al 0, entonces deben hacerse algunos ajustes menores:

·         El 0 es un número natural.

·         Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.

·         El 0 no es el sucesor de ningún número natural.

·         Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

·         Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción, y captura la idea de inducción matemática.

Operaciones de números naturales

Primeramente, definimos la adición de los números naturales por las fórmulas

m+1 = S(m) donde m es un número natural y S denota la función sucesor de N en N-{0}.

p + S(m) = S (p +m).

En seguida, definimos la multiplicación de los números naturales por las siguientes condiciones

m x 1 = m.

p x S(m)= p x m +p.

fuente:

Peano, Giuseppe (marzo de 1979). Velarde Lombraña, Julián (ed.). Los principios de la aritmética: expuestos según un nuevo método., Velarde Lombraña, Julián; tr., 1 edición (en español)