Demuestre que para todo natural n,
n5 − n es divisible por 5.
Demostración.
Sea p(n) la proposición dada, luego para n = 1
se tiene que 0 = 5 · 0 lo cual es verdadero. Hipótesis de inducción: n = k, k5
− k es divisible por 5
n = k + 1, Por demostrar que (k +
1)5 − (k + 1) es divisible por 5
Dado que nuestra única información
es la hipótesis debemos hacer que la expresión k5 − k, aparezca en
nuestro desarrollo
En efecto,
(k + 1)5 − (k + 1) = k5
+ 5k4 + 10k3 + 10k2 + 4k
y es igual a
k5 − k + 5k(k3
+ 2k2 + 2k + 1)
de donde ambos sumandos son
divisibles por 5, luego para todo natural n, n 5 − n es divisible por 5.
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