El
método deductivo, muy usado en maten ática, obedece a la siguiente idea: “ A partir
de un cierto conjuntos de axiomas aceptados sin demostración y de reglas lógicas
no contradictorias, se deducen otros enunciados llamados teoremas combinando
los axiomas y respetando en cada etapa las reglas lógicas”. Otro método para
demostrar resultados generales que dependen en algún´ sentido de los números ´
naturales es conocido con el nombre de Inducción Matemática. Esta dependencia
de los números ´ naturales significa: se sabe que una determinada afirmación es
verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta. ¿Dicha afirmación
sigue siendo verdadera para los infinitos números ´ naturales restantes?
Existen muchas afirmaciones que solo son válidas para un numero ´ finito de
casos y en consecuencia son falsas para un numero ´ infinitos de situaciones.
Sin embargo, podemos encontrar proposiciones (afirmaciones) que son verdaderas solo
a partir de un cierto número natural n0, de ser así, la técnica que se
desarrollaremos se llama Inducción
Incompleta. Para demostrar que una proposición p(n), ∀n
∈
M ⊆
N, es verdadera es necesario comprobar la validez de ella para todos los
elementos del conjunto M. En el caso en que M= N, diremos que es una Inducción Completa.
Si se requiere demostrar la falsedad de una cierta proposición p(n), ∀n
∈
M ⊆
N, es suficiente indicar un elemento particular m ∈ M de manera
que p(m) sea falsa. (Construcción de un contra ejemplo).
Ejemplo.
∀n
∈
N, n^2 − 3n − 1 < 0
Es
fácil probar que esta desigualdad es verdadera para n = 1, 2, 3. Sin embargo,
para n = 4 no se cumple ya que 4 2 − 3 · 4 − 1 = 3 > 0. Nótese que este
ejemplo sencillo muestra que una proposición puede ser verdadera para los
primeros números naturales, sin embargo, es falsa , para números naturales más
grandes.
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